Условная вероятность имеет большое значение в тех случаях, когда надо предсказывать будущие события или рассчитывать протекание каких-либо процессов, не зная в точности, какие случайные факторы могут вмешаться в ход этого процесса. В природе существуют процессы, ход которых не может быть нарушен случайными вмешательствами. Если выпустить из руки камень, то можно точно предсказать, когда и в каком именно месте он упадёт на пол. Вернее, это можно сделать почти точно, так как возможно, хотя и крайне маловероятно, что в течение той доли секунды, когда камень падает, произойдёт, например, землетрясение. Можно встретить процессы, где результат в принципе предопределён, но возможность вмешательства случайности достаточно велика. Например, мы имеем сложный редуктор с системой зубчатых передач, где вращение передаётся от одной шестерёнки к другой, от неё – к следующей, и так много раз. Такой процесс в принципе строго предопределён и полностью подчиняется законам механики. Однако не исключены случаи, когда один зубчик в какой-либо шестерёнке сотрётся или в механизм попадёт песчинка, в результате чего точность механизма будет нарушена. Существуют, однако, такие процессы, в которых последовательность событий зависит от множества причин, которые невозможно учесть.
Рис. 197. Схема разветвления дорог (пояснения в тексте)
Такие процессы называют случайными или вероятностными.
Рассмотрим простой пример случайного процесса (рис. 197). Путешественник хочет пройти из пункта А в пункт Б. Из пункта А выходят три дороги: одна ведёт в пункт Б, вторая – в тупик, а третья через некоторое время раздваивается так, что одна ветвь ведёт в тупик, а вторая в пункт Б. У путешественника нет карты, и на каждой развилке он выбирает дальнейший путь случайно, считая все варианты равновероятными. Спрашивается, какова вероятность того, что он попадёт в пункт Б, ни разу не зайдя в тупик?
Вероятность того, что путешественник выйдет из пункта А по каждой из трёх дорог, равна 1/3. Если он пойдет по первой дороге, он сразу же попадёт в нужное место, т. е. с вероятностью 1/3 он сразу попадёт в пункт Б. Вероятность пойти по второй дороге тоже равна 1/3, но в этом случае он попадает на развилку, где ему приходится выбирать с равной вероятностью между правильной дорогой и путём в тупик. Вероятность выбора правильной дороги на развилке составляет 1/2.
Выбор направления в пункте А никак не влияет на выбор направления на развилке, т. е. эти события независимы. Вспомним, что вероятность того, что наступят оба независимых события, т. е. что путешественник вначале выберет вторую дорогу, а затем дорогу в пункт Б, равна произведению вероятностей обоих событий. Следовательно, вероятность того, что путешественник попадёт в пункт Б этим путём, равна 1∕3 •1∕2 = 1∕6. Вычислим вероятность того, что путешественник вообще попадёт в пункт Б. Понятно, что если он выберет третью дорогу, то эта вероятность равна нулю, и этот вариант можно не учитывать. Следовательно, есть только два варианта попасть в нужное место: пойти или по первой, или по второй дороге. Выбор либо первой, либо второй дороги – несовместимые события, ведь нельзя пойти сразу по двум дорогам. Поэтому вероятность того, что путешественник попадёт в пункт Б по любому из этих путей, не зайдя в тупик, равна сумме вероятностей для каждого пути, т. е. 1∕3 + 1∕6 =3/6= 1∕2. Вероятность противоположного события (попасть в тупик) равна 1 – 1∕2 = 1∕2. Таким образом путешественник имеет равные шансы попасть в пункт Б или зайти в тупик.
При моделировании природных или социально-экономических процессов и при разработке систем автоматического управления используют подобного рода цепи, состоящие из множества шагов (развилок). Если известны вероятности выбора каждого из вариантов на разных ступенях процесса, то конечный результат часто удаётся предсказать с поразительной точностью.
Проверьте свои знания
1. В каком случае события А и В называются независимыми?
2. Чему равна вероятность наступления сразу двух независимых событий, если вероятность наступления каждого равна соответственно P и Q?
3. Что такое условная вероятность?
4. Что такое вероятностные процессы?
Задания
1. Подберите эпиграф к данному параграфу.
2. Ученик полагает, что вероятность успешной сдачи им зачёта по естествознанию равна 0,6, а по истории – 0,8. Какова, по его мнению, вероятность того, что он успешно сдаст оба зачёта? Какова вероятность того, что он не сдаст ни одного из двух зачётов?
3. В первой урне находится 4 белых и 8 чёрных шаров, а во второй – 12 белых и 8 чёрных. Какова вероятность вынуть белый шар, если брать его наугад из первой попавшейся урны? Какова вероятность того же события при условии, что шар вынимается из второй урны?
4. Приведите примеры географических и научных открытий, которые произошли случайно, вопреки запланированному.
5. Порой в нашей жизни происходят некие случайные события, которые влияют на нашу судьбу. История знает множество подобных примеров. Вот один из них. Известный французский парфюмер Франсуа Коти вопреки строгим правилам первым начал добавлять в духи помимо естественных компонентов ещё и синтетические материалы. В результате они были настолько новаторскими, что ни один магазин не хотел рисковать. Но однажды, во время визита в очередной универмаг, Коти случайно уронил флакон со своими духами, и тот разлетелся вдребезги. Воздух наполнился ароматом, и посетители стали требовать именно эти духи. Аромат был тут же принят, и за несколько дней разошлось 500 флаконов. Так парфюмерный шедевр Коти произвёл настоящую революцию.
Были ли в вашей жизни или в жизни ваших близких подобные счастливые случайности?
6. Джоан Роулинг написала первую книгу о Гарри Поттере, будучи нищей матерью-одиночкой. Спасаясь от глубокой депрессии, она выдумала мир волшебников, который помогал ей забыть о собственных злоключениях. Первые 18 издательств отказались печатать книгу, но 19-е всё-таки решило узнать мнение детей – те были в восторге! А Джоан Роулинг стала известна во всём мире. Всегда ли малая вероятность события означает, что следует отказаться от попыток его реализации? Сделайте выводы.
§ 74 Статистические методы в естественных и гуманитарных науках
В § 8 мы уже говорили о том, какую роль играют математические методы в обработке результатов научных экспериментов и наблюдений. В этом параграфе мы познакомимся с ними подробнее на основе тех представлений, которые мы получили, знакомясь с понятием вероятности.
Мы будем рассматривать системы, состоящие из достаточно большого числа элементов. Что такое «достаточно большое»? Это зависит от того, какая система исследуется. Иногда число элементов может быть действительно огромным, как, например, число молекул в физических экспериментах, где оно составляет миллиарды миллиардов. Иногда, например в социальных исследованиях, оно может иметь величину порядка нескольких тысяч, а в некоторых случаях, таких как психологические исследования, может быть равным всего нескольким десяткам. Однако независимо от того, какой порядок имеет число исследуемых элементов системы, во всех этих случаях применяют методы математической статистики, которые строятся на общих математических принципах. Слово «статистика» происходит от того же корня, что и штат[24]. Вначале оно обозначало описание экономического или политического состояния государства или города. Впоследствии этот термин стал использоваться в более широком смысле и, в соответствии с одним из определений, обозначать представление результатов в наиболее сжатой форме.
Потребность в использовании статистики и её методов возникает при исследовании таких систем, где требуется выявить свойства целого на основании поведения его частей или элементов. При этом это поведение либо в принципе не наблюдаемо, как, например, поведение отдельных молекул в газах, либо обладает очень большим разнообразием. Последнее встречается в социологических и психологических исследованиях, где на основании самых различных предпочтений, суждений и поступков отдельных людей требуется сделать выводы, касающиеся всей группы или сообщества. Точно такая же ситуация часто возникает в биологии, когда каждое отдельное животное или растение проявляет во время эксперимента или наблюдения самые различные свойства, на основе которых надо описать всю группу этих организмов в целом.
В этот раз мы будем исследовать не размножение бактерий, как в § 8, а способность людей к решению определённого типа задач. Предположим, что психолог разработал систему тренинга, которая, как он думает, повышает успешность этого решения. Психолог выдвигает гипотезу, что разработанная им система тренинга эффективна. Но это только гипотеза, и она нуждается в проверке. Каким образом нужно грамотно провести эту проверку? Для этого надо создать две группы испытуемых, одна из которых будет контрольной, а другая – экспериментальной. Важно, чтобы эти группы в среднем ничем не различались между собой. В этом случае говорят, что они должны быть выравнены по всем основным свойствам, которые могут характеризовать человека. Это значит, что в них должен быть равным средний возраст испытуемых, уровень их образования, одинаковое соотношение мужчин и женщин и т. д. Если это условие не будет соблюдено, то всегда можно будет сказать, что на успешность решения задач повлиял не тренинг, а какое-то другое различие между группами. Создав такие группы, психолог начинает проводить тренинг. Испытуемые экспериментальной группы периодически (допустим, через день) приходят на занятия и проводят там определённое время (допустим, полтора часа). Для того чтобы эксперимент был убедительным, испытуемые контрольной группы также должны через день приходить в то же помещение на полтора часа, но вместо тренинга заниматься там чем-либо другим, например слушать музыку или читать журнал.
